在信號(hào)完整性方面，很少有概念像信號(hào)帶寬一樣會(huì)造成如此多的混亂，帶寬究竟指的是什么，時(shí)域中信號(hào)的哪些特征會(huì)影響帶寬：上升時(shí)間還是壓擺率？

對(duì)于下圖中的兩個(gè)波形，兩個(gè)波形具有相同的上升時(shí)間，但壓擺率相差5倍，它們的帶寬是多少，哪個(gè)波形具有更高的帶寬？答案可能會(huì)讓你大吃一驚。這是一個(gè)重要的問(wèn)題，因?yàn)樗m用于仿真和測(cè)量的所有頻域和時(shí)域分析。

雖然帶寬是在涉及到信號(hào)的頻率分量時(shí)使用的術(shù)語(yǔ)，但它只有一個(gè)模糊的定義，必須先加以澄清，然后才能應(yīng)用它來(lái)幫助深入了解其與上升時(shí)間和壓擺率的關(guān)系。從根本上說(shuō)，帶寬是信號(hào)“重要”頻譜分量的頻率范圍。

對(duì)于 RF 信號(hào)時(shí)，這通常是指頻譜中載波的頻率分量范圍，通常分為窄帶和寬帶。對(duì)于數(shù)字信號(hào)，由于它們的頻率范圍從 DC 開(kāi)始，帶寬是指信號(hào)中“重要”的最高正弦頻率分量。歧義在于“重要”的定義， 僅查看頻域中時(shí)域信號(hào)的頻譜分量不足以回答“什么是重要的？”這個(gè)問(wèn)題。

時(shí)域波形在頻域中的表示

時(shí)域信號(hào)通常使用快速傅立葉變換 (FFT) 轉(zhuǎn)換到頻域，F(xiàn)FT 是離散傅立葉變換 (DFT) 的快速矩陣方案。這將時(shí)域 V(t) 波形變換為頻域頻譜，頻譜由每個(gè)頻譜頻率區(qū)間中的復(fù)正弦振幅A(f)組成。通常只顯示復(fù)振幅的幅度，但也有相關(guān)的相位。

時(shí)域波形的三個(gè)屬性直接對(duì)應(yīng)頻譜的特征，無(wú)論波形是仿真還是測(cè)量的，這些都是適用的。

頻譜是通過(guò)在有限時(shí)間的采集窗口中對(duì)波形進(jìn)行采樣來(lái)計(jì)算的，采集窗口是一個(gè)重復(fù)的時(shí)間間隔。DC 之上的第一個(gè)頻率分量和頻率分辨率與數(shù)據(jù)的總采集時(shí)間有關(guān)。如果總時(shí)間窗口為 1 us，則每個(gè) bin 之間的頻率間隔（即頻率分辨率）為 1/1 us= 1MHz。

時(shí)域中采集窗口中V(t) 的平均值是頻譜中直流分量即 0 Hz的幅度，例如，如果時(shí)域中的平均值為 0.5 V，則 0 Hz 頻率分量的幅度也是 0.5 V。

頻譜中的最高頻率是時(shí)域中測(cè)量或仿真數(shù)據(jù)的采樣率的一半，如果采樣率為 100 GHz，則使用 FFT 計(jì)算到的最高頻率分量為50 GHz。

對(duì)時(shí)域中理想正弦波做FFT 僅產(chǎn)生單一的正弦頻率分量，即正弦波的頻率。例如，使用 仿真軟件中的 FFT 函數(shù)計(jì)算的 10 MHz、100 MHz 和 1 GHz 三個(gè)理想正弦波的頻譜如下圖所示。時(shí)基為 1 微秒，采樣間隔為 5 ps，分辨率為 1 MHz， 顯示的最高頻率為 100 GHz。在此示例中， FFT 使用了 Blackman-Harris 窗函數(shù)。

從這個(gè)例子，可以明顯看出，正弦波的最高有效頻譜分量就是正弦波頻率本身，正弦波頻率以上的頻率分量的幅度基本等于 FFT 的數(shù)字本底噪聲，是無(wú)關(guān)緊要的。

理想方波

可以用紙筆手動(dòng)計(jì)算 FFT 的少數(shù)波形之一的是理想方波，頻譜分量是重復(fù)頻率即基頻的倍數(shù)， 基頻的每一個(gè)倍數(shù)都是一個(gè)諧波。它們的幅度以1/n 下降并且以下面公式表示：

其中A(n) 是每個(gè)諧波分量的幅度，n 是諧波數(shù)；

對(duì)于理想的完美對(duì)稱(chēng)方波，頻譜中的所有偶數(shù)次諧波相互抵消并在數(shù)值上等于 0。波形的前半部分和后半部分之間的任何不對(duì)稱(chēng)都會(huì)產(chǎn)生一些偶次諧波分量，周期性類(lèi)方波頻譜中的二次諧波分量意味著被測(cè)方波在其周期的前半部分和后半部分之間存在某種不對(duì)稱(chēng)性。

任何 FFT 工具的簡(jiǎn)單檢查就是對(duì)比其計(jì)算出的理想方波的頻譜與理想分析計(jì)算的匹配程度（見(jiàn)下圖）。在此示例中，左邊方波的上升時(shí)間為 5 ps，并且具有完美對(duì)稱(chēng)的 50% 占空比，與右邊具有 50.1% 占空比的相同方波進(jìn)行了比較。

從理想方波的頻譜來(lái)看，帶寬是如何定義的？諧波的幅度按照1/f下降并變得非常小。低于什么幅度的頻率分量是無(wú)關(guān)緊要的？必須小心應(yīng)用諸如 3 dB 帶寬（幅度下降 3 dB 時(shí)的頻率）之類(lèi)的定義，這只是幅度下降到初始值的 70%。一次諧波已經(jīng)下降到方波電壓峰峰值的 63%，三次諧波比一次諧波低 33%(約– 10 dB)。這是對(duì)具有 5 ps 上升時(shí)間的理想方波的分析。

信號(hào)頻譜中諧波的幅度并不是那么重要，重要的是描述信號(hào)上升時(shí)間所需的最高頻率。在這個(gè)具有 5 ps 上升時(shí)間的理想方波中，顯示的所有頻率分量都很重要，盡管其幅度很小，摒除某些頻率分量意味著不能重建 5 ps 上升時(shí)間，信號(hào)頻譜中頻率分量的幅度或頻譜分量的相對(duì)幅度變化不足以定義帶寬。

合成有限上升時(shí)間的方波

另一種評(píng)估信號(hào)帶寬（最高有效正弦頻率分量）的方法是合成一個(gè)具有有限上升時(shí)間和明確帶寬的方波。方波可以通過(guò)將其理想頻譜中的每個(gè)頻率分量從最低次諧波開(kāi)始，一次一個(gè)地連續(xù)相加在一起來(lái)合成。

通過(guò)頻譜可以識(shí)別頻率分量及其幅度，包含除幅度 A(n) = 2/(pn) 以外的頻率分量的頻譜不會(huì)產(chǎn)生方波， 這將是一些失真的重復(fù)信號(hào)。幅度必須以 1/n 下降，才能產(chǎn)生類(lèi)似方波的信號(hào)。

可以在時(shí)域中仿真多個(gè)不同頻率的正弦波，并使用一個(gè)簡(jiǎn)單的電路將理想的正弦波電壓源串聯(lián)在一起。使用理想的 100 MHz 方波的分析計(jì)算幅度，下圖顯示了電路以及前 17 個(gè)諧波分量相加得到的時(shí)域波形?；l是 100 MHz，每個(gè)諧波都是 100 MHz 的倍數(shù)，偶次諧波的幅度為 0。隨著更高頻率分量添加到波形中，信號(hào)的上升時(shí)間減小， 它們是負(fù)相關(guān)的。

每個(gè)合成波形的帶寬是明確的，在每個(gè)波形中重要的最高正弦頻率分量是添加的最高頻率正弦波。盡管更高頻率的頻率分量的幅度越來(lái)越小，但每個(gè)附加的分量對(duì)于縮短上升時(shí)間是至關(guān)重要的。

例如，具有前 17 個(gè)諧波分量的波形和該時(shí)域波形的頻譜如下圖所示，該波形的帶寬設(shè)計(jì)為 1.7 GHz。

此仿真可用于執(zhí)行簡(jiǎn)單的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，將每個(gè)仿真波形的 10% 到 90% 上升時(shí)間與其設(shè)計(jì)帶寬進(jìn)行比較。并與常用的近似值 RT = 0.35/BW 相比，10% 到 90% 上升時(shí)間與設(shè)計(jì)帶寬之間的關(guān)系如下圖所示，上升時(shí)間和帶寬成反比。這種關(guān)系的一個(gè)有用的品質(zhì)因數(shù)是上升時(shí)間帶寬積。在這個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，每一項(xiàng)都是有明確定義的。隨著諧波次數(shù)的增加，該乘積也下圖所示。

上圖中繪制的數(shù)據(jù)點(diǎn)顯示了基于數(shù)值實(shí)驗(yàn)的純經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，該實(shí)驗(yàn)明確定義了重現(xiàn)特定上升時(shí)間所需的最高頻率。上升時(shí)間帶寬積的值在很大程度上取決于上升沿的精確形狀。

與上升時(shí)間和帶寬相關(guān)的常用模型是該數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)很好的近似值，然而，它只是一個(gè)近似值。該模型是基于一階濾波器的理想階躍響應(yīng)推導(dǎo)出來(lái)的，在該模型中，極點(diǎn)頻率被“隨意”定義為信號(hào)的帶寬。與基于經(jīng)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)的明確帶寬定義相比，這種假設(shè)是相對(duì)合理的，經(jīng)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中的上升時(shí)間-帶寬乘積范圍從 0.2 到大約 0.42，1階模型的值 0.35 是處于此范圍的近似值。

上升時(shí)間和1階濾波器響應(yīng)

如果將信號(hào)帶寬定義為極點(diǎn)頻率，則基于設(shè)計(jì)頻譜與簡(jiǎn)單一階濾波器響應(yīng)模型相匹配的上升時(shí)間和帶寬之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系。表明使用一階濾波器的極點(diǎn)頻率作為信號(hào)帶寬有一些特別之處。

一階低通濾波器在低頻時(shí)具有 0 dB 的傳遞函數(shù)，在極點(diǎn)頻率，傳遞函數(shù)下降到 – 3 dB， 此后，傳遞函數(shù)以20 dB/decade下降。這意味著當(dāng)理想的方波頻譜通過(guò) 1 極點(diǎn)濾波器時(shí)，極點(diǎn)頻率處的頻率分量的幅度下降了 3 dB（幅度下降到原始值的 70%），高于極點(diǎn)頻率后，下降速度要快得多。對(duì)于諧波幅度開(kāi)始下降并很快變得不重要的頻率點(diǎn)，極點(diǎn)頻率是一個(gè)很好的指標(biāo)參數(shù)。

一階模型的質(zhì)量取決于時(shí)域波形的精確形狀和帶寬定義，對(duì)于 100 MHz 頻率的合成方波，僅將前 9 個(gè)諧波加在一起的合成信號(hào)的帶寬為 0.9 GHz，測(cè)得的 10% 到 90% 上升時(shí)間為 0.39 ns。具有特定形狀的誤差函數(shù)邊沿信號(hào)（高斯積分）的10% 至 90% 上升時(shí)間也是 0.39 ns（參考下圖），信號(hào)的形狀不完全相同但相似，應(yīng)該具有相似的帶寬。

上升時(shí)間為 0.39 ns的誤差函數(shù)信號(hào)的頻譜看起來(lái)也像通過(guò) 一階濾波器的理想方波的頻譜（參考下圖）。信號(hào)帶寬 0.9 GHz 處的頻率分量幅度也比理想方波低 3 dB，并且，在 0.9 GHz 以上，誤差函數(shù)邊沿信號(hào)的頻率分量下降速度超過(guò) 20 dB/十倍頻程。和在合成波形中一樣，在極點(diǎn)頻率之上，幅度是微不足道的。

說(shuō)明濾波器的極點(diǎn)頻率是確定時(shí)域中重建波形所需的最高頻率分量的有用近似值。然而，這只是一個(gè)近似值。

這就是經(jīng)驗(yàn)公式的來(lái)源，例如，1 ns上升時(shí)間信號(hào)的帶寬為 0.35/1 ns = 350 MHz。鑒于帶寬的這種近似值，壓擺率是多少？

上升時(shí)間和壓擺率

信號(hào)的壓擺率是電壓波形的斜率，即電壓的變化率。對(duì)于一階，壓擺率為：

可以通過(guò)改變電壓變化幅度來(lái)創(chuàng)建具有與上升時(shí)間無(wú)關(guān)的壓擺率的信號(hào)，例如，在文章開(kāi)始的圖中顯示了兩個(gè)波形。它們具有相同的 10% 到 90% 的上升時(shí)間，均為 10 ns，但較大的幅度是較小幅度的 5 倍。因此，較大波形的壓擺率是較小波形的 5 倍。

較大幅度的信號(hào)具有更大的 dV/dt，看起來(lái)它的頻譜中應(yīng)該有更高的頻率分量以產(chǎn)生更大的斜率，但上升時(shí)間是相等的。當(dāng)波形的幅度縮小時(shí)，頻譜分量的幅度也縮小。對(duì)于相應(yīng)的理想方波，幅度下降 3 dB 的頻率是相同的（見(jiàn)下圖）。因此，兩個(gè)波形的帶寬是相同的。

每個(gè)波形的帶寬與頻譜的形狀有關(guān)，而不是頻率分量的絕對(duì)幅度。重建具有較大幅度的有限上升時(shí)間方波與小幅度信號(hào)需要相同的頻率分量，每個(gè)分量只是具有較大的幅度。重建每個(gè)波形所需的最高頻率分量是相同的。

總結(jié)

時(shí)域中的每個(gè)信號(hào)在頻域中都有自己對(duì)應(yīng)的頻譜。對(duì)于理想方波，很容易計(jì)算其頻譜分量及其幅度。要?jiǎng)?chuàng)建具有 0 ps 上升時(shí)間的理想方波，需要無(wú)窮的正弦頻率分量。盡管這些分量的幅度隨著頻率的提高而變得越來(lái)越小，但要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)較短的上升時(shí)間。每個(gè)分量都需要的，頻率分量的絕對(duì)幅度不是決定其帶寬的因素。

在合成有限上升時(shí)間的方波時(shí)，不需要帶寬以上的頻率分量來(lái)重新創(chuàng)建上升時(shí)間。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該帶寬接近于常用的基于一階濾波器階躍響應(yīng)的信號(hào)帶寬模型。

信號(hào)的頻譜取決于波形的精確形狀。實(shí)際上，該頻譜可由一階濾波器的階躍響應(yīng)近似。極點(diǎn)頻率是幅度比理想方波下降 3 dB 的頻率，此后更高頻率分量的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)。

由于影響帶寬的是信號(hào)的上升時(shí)間，因此電壓變化的斜率不是影響的因素。如果信號(hào)的幅度信號(hào)加倍，則壓擺率加倍，每個(gè)諧波分量的幅度也加倍。但頻率分量下降 3 dB， 并且之后下降得更快的頻率點(diǎn)是相同的。